1 –Mouvement de rotation autours d'un axe fixe :

2 – Paramétrage du mouvement :

 

a) Position d'un point du solide

 

b) Vecteur vitesse d'un point M du solide

 

c) Vecteur accélération d'un point M du solide

 

d) Mouvement de rotation uniforme

 

e) Mouvement de rotation uniformément varié

 

1 – Mouvement de rotation autours d'un axe fixe :

Un solide (S) est animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe DD' dans (Â0) si il existe au moins deux points A et B liés au solide (S) qui coïncident constamment avec deux points fixes de A0 et B0 de (Â0) appartenant à l'axe.

Tous les points M du solide (S) ont des trajectoires circulaires.
Ces trajectoires circulaires :

- sont contenues dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation .
- ont pour centre un point I appartenant à l'axe de rotation .
- ont pour rayon r = IM.

On choisi généralement un des axes du repère de référence confondu avec l'axe de rotation . Pour la suite du cours, et l'axe des Z sont confondus.

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2 – Paramétrage du mouvement :

a) Position d'un point du solide :

La trajectoire d'un point M étant connu (on connaît le rayon r ou constant, distance entre l'axe de rotation et le point M), on peut repérer la position du point M sur cette trajectoire (C) de deux façon :

Par son abscisse angulaire en fonction du temps.

  • (t) = angle orienté ( ) (en radian)

Par son abscisse curviligne S en fonction du temps.

  • S(t) = longueur de l'arc MiM  (en mètre)

 

On a la relation :

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b) Vecteur vitesse d'un point M du solide :

Dans un mouvement de rotation d'un solide (S) autour d'un axe fixe, la vitesse d'un point M appartenant à (S) peut être définie de deux façons :

  • Par sa vitesse angulaire (t) (rad/s).
    (Dérivée de θ(t) par rapport au temps).
    C’est la variation de l'angle u par unité de temps
    Cette vitesse est la même en tout point d'un même solide.

 

  • Par sa vitesse instantanée algébrique v(t) (m/s).
    (Dérivée de S(t) par rapport au temps)
    C’est la distance parcourue sur la trajectoire par unité de temps

Ce vecteur vitesse est perpendiculaire au rayon IM, et l'intensité de ce vecteur vitesse est proportionnelle au rayon [IM].

On a la relation :

Illustration :

 

Illustration de la répartition triangulaire des vitesses
On peut remarquer que les points appartenant aux mêmes trajectoires ont même vitesse.

 

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c) Vecteur accélération d'un point M du solide :

Dans un mouvement de rotation d'un solide (S) autour d'un axe fixe, l'accélération d'un point M appartenant à (S) peut être définie de deux façons :

Par son accélération angulaire(t) .

(dérivé de (t) par rapport au temps).

C’est la variation de la vitesse angulaire  par unité de temps. A un instant donné, cette accélération est la même en tout point d'un même solide.

Par son vecteur accélération en .

(dérivée de par rapport au temps).

Ce vecteur accélération se décompose en deux vecteurs

  • Vecteur accélération normale
  •  Vecteur accélération tangentielle

Avec les relations :
Illustration :

Lors d'une rotation à vitesse constante, flèche verte, le terme est nul. Il ne reste plus que l'accélération normale, flèche violette. C'est celle-ci que l'on ressent lors de la prise d'un virage en véhicule.
Plus la vitesse angulaire croît, plus le terme augmente rapidement. De ce fait, , flèche vert clair, est de plus en plus orienté vers le centre de rotation.

 

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d) Mouvement de rotation uniforme (M.R.U)  :

Un mouvement de rotation est UNIFORME si la vitesse angulaire est constante au cours du temps.
Il en résulte que l'accélération tangentielle est donc nulle.
Équations paramétriques :

Accélération :

Avec :

  • ti :   date du début de la phase étudiée (instant initial)
  • i : vitesse angulaire à l'instant ti
  • i :   position angulaire à l'instant ti

(t) = 0

Vitesse :  (rad/s)

(t) = i = constante

Position (abscisse) : (rad)

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e) Mouvement de rotation uniformément varié (M.R.U.V) :

Un mouvement de rotation est UNIFORMÉMENT VARIÉ si l'accélération tangentielle est constante et non nulle au cours du temps.
Équations paramétriques :

Accélération : (rad/s2)

Avec :

  • ti : date du début de la phase étudiée (instant initial)
  • i : accélération angulaire à l'instant ti
  • i : vitesse angulaire à l'instant ti
  • i : position angulaire à l'instant ti

(t) = i = constante

Vitesse :  (rad/s)

Position (abscisse) : (rad)

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